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\title{\titreombre{15cm}{DM de Mathématiques facultatif \no 4 \\ \normalsize Une démonstration de l'irrationnalité du nombre $\E$}} % Le titre du document
\author{\textsc{Masset} Camille -- TSV2}
\date{le \today} % la date du "cours"

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\fancyhead[LE, RO]{\small\itshape DM de Mathématiques facultatif \no 4}
\fancyhead[RE, LO]{\small\itshape Une démonstration de l'irrationnalité du nombre $\E$} % Titre du document
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\fancyfoot[LE, RO]{\small\itshape Masset Camille}
\fancyfoot[RE, LO]{\small\itshape Lycée Blaise Pascal}
\fancyfoot[C]{\small\itshape --~\thepage~--}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\pagestyle{fancy}

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\usepackage{framed}

\theoremstyle{empty}
\newtheorem{theoreme}{Théorème}

\newenvironment{Theoreme}[2]%
	{\begin{bclogo}[#1]{#2}%
		\begin{theoreme}}%
	{\end{theoreme}%
\end{bclogo}}

\theorembodyfont{\upshape}
\theoremstyle{nonumberbreak}
\theoremsymbol{\ensuremath\blacksquare}
\newtheorem{demo}{Démonstration}

\setlength{\parskip}{1ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%											DOCUMENT 												 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\maketitle
\thispagestyle{empty}

\begin{Theoreme}{arrondi=0.1, logo=\bccrayon}{Théorème 1}
%\begin{bclogo}[arrondi=0.1, logo=\bccrayon]{Théorème 1}
%\begin{theoreme}
\label{th1}
Une suite d'entiers $(u_n)$ converge si et seulement si elle est constante à partir d'un certain rang.
%\end{theoreme}
%\end{bclogo}
\end{Theoreme}

\begin{demo}
Dans un premier temps, démontrons que:
\begin{quote}
\itshape si une suite d'entiers converge, alors elle est constante à partir d'un certain rang.\upshape
\end{quote}

Soit $(u_n)$ une suite d'entiers relatifs convergente vers $\ell\in\relatifs$ à partir du rang $n_0$. \\
Comme $(u_n)$ converge vers $\ell$, pour tout intervalle $I$ de la forme $\interoo{\ell - \varepsilon}{\ell + \varepsilon} \: (\varepsilon \in \reels^*)$, il existe un rang $N$ à partir duquel $u_n \in I$.\\
De ce fait, si on choisit $\varepsilon < 1$, le seul entier appartenant à l'intervalle $I$ est la limite $\ell$.\\
Or, pour tout $n$, $u_n \in \relatifs$, donc pour $n \geqslant N$, $u_n = \ell$,\\
autrement dit, $(u_n)$ est constante.

Dans un second temps, démontrons que:
\begin{quote}
\itshape si une suite d'entiers relatifs est constante à partir d'un certain rang, alors elle converge. \upshape
\end{quote}

Soit $(u_n)$ une suite constante à partir d'un rang $n_0$ telle que $n \geqslant n_0 \Rightarrow u_n = \ell$.\\
Par conséquent, à partir de $n_0$, $u_n$ appartient à tout intervalle de la forme $\interoo{\ell - \varepsilon}{\ell + \varepsilon} \: (\varepsilon \in \reels^*)$. Autrement dit, $(u_n)$ converge vers $\ell$.

Finalement, on a:
\[ (u_n) \text{ une suite d'entiers relatifs convergente} \iff (u_n) \text{ constante à partir d'un certain rang.} \]
\end{demo}

\begin{Theoreme}{arrondi=0.1, logo=\bccrayon, sousTitre=Une condition pour qu'un réel soit irrationnel}{Théorème 2}
Soit $x$ un réel.\\
S'il existe deux suites d'entiers relatifs $(a_n)$ et $(b_n)$ telles que:
\begin{equation}
\lim_{n \to +\infty} a_nx - b_n = 0
\tag{H1}\label{h1}
\end{equation}
\begin{equation}
\forall n \in \naturels, \: a_nx - b_n \neq 0
\tag{H2}\label{h2}
\end{equation}
alors $x$ est un nombre irrationnel.
\end{Theoreme}

\begin{demo}
	Soit $x$ un réel pouvant s'écrire sous la forme $\frac{p}{q}$ ($p$ et $q$ entiers relatifs premiers entre eux) et vérifiant la condition $\eqref{h1}$. Il existe donc deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ d'entiers relatifs telles que:
	\[ \lim_{+\infty} a_nx - b_n = 0 \]
	On peut donc tenir le raisonnement suivant:
	\begin{align*}
	\lim_{+\infty} a_nx - b_n &= 0\\
	\lim_{+\infty} a_n\frac{p}{q} - b_n &= 0\\
	\lim_{+\infty} \frac{a_np - qb_n}{q} &= 0\\
	\intertext{or, comme $q$ est un entier non nul, on peut écrire:}
	\lim_{+\infty} a_np - qb_n &= 0
	\end{align*}
	On sait par ailleurs que pour tout $n$, $a_n$ et $b_n$, de même que $p$ et $q$, sont des entiers relatifs. Donc pour tout $n$, le nombre $a_np - qb_n$ est un entier relatif. \\
	Or, selon le théorème~\vref{th1}, toute suite d'entiers relatifs convergente est constante à partir d'un certain rang. De ce fait, à partir d'un certain rang, $a_np - qb_n$ est constant et comme cette suite converge vers 0, à partir d'un certain rang, on a:
	\begin{align*}
	a_np - qb_n &= 0\\
	\frac{a_np - qb_n}{q} &= 0\\
	a_n\frac{p}{q} - b_n &= 0\\
	a_nx - b_n &= 0
	\end{align*}
	Ceci contredit la condition~\eqref{h2}, donc le nombre $x$ ne peut pas s'écrire sous la forme $\frac{p}{q}$, c'est donc un \emph{irrationnel}.
\end{demo}
\newpage

\begin{center}
\null\hfill\hfill\ding{118}\hfill\noindent\ul{\textbf{Application}}\hfill\ding{118}\hfill\hfill\null
\end{center}

On admet que le nombre $\E$ est la limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$ de la suite $(S_n)$ définie par:
\[ S_n = \sum_{k = 0}^{k = n} \frac{1}{k!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{n!} \]

\begin{enumerate}[a)]
	\item Je montre que $\E - S_n > 0$ pour tout $n$.
	
	Pour cela, je montre d'abord que $(S_n)$ est croissante sur $\naturels$.
	\begin{align*}
	S_{n+1} - S_n &= \left( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{n!} + \frac{1}{(n+1)!} \right) - \left( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} +  \dots + \frac{1}{n!} \right) \\
				&= \frac{1}{(n+1)!} \\
	\intertext{or $n \in \naturels$, donc:}
	S_{n+1} - S_n &> 0
	\end{align*}
	Donc, $(S_n)$ est strictement croissante sur $\naturels$.
	
	Or, $\lim\limits_{+\infty} S_n = \E$, donc pour tout $n$:
	\begin{equation}
	S_n < \E \iff S_n - \E < 0\label{eq1}
	\end{equation}
	
	\item Je prouve que:
	\begin{equation}
	\E - S_n \leqslant \frac{\E}{(n+1)!}\label{eq2}
	\end{equation}
	
	Je considère la différence:
	\[ \E - S_n = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+2)!} + \frac{1}{(n+3)!} + \dots + \frac{1}{(n+1+t)!} \]
	où $t$ est un entier naturel. En effet, cette différence correspond à \og{}ce qu'il manque à $S_n$ pour atteindre $\E$\fg{}, il s'agit donc du reste de la somme infinie qui définit $\E$. De cette manière, j'obtiens:
	\begin{align*}
	(n+1)! \times (\E - S_n) &= (n+1)! \times \left[ \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+2)!} + \frac{1}{(n+3)!} + \dots + \frac{1}{(n+1+t)!} \right] \\
							&= 1 + \frac{1}{(n+2)} + \frac{1}{(n+2)(n+3)} + \dots + \frac{1}{(n+2)(n+3)\cdots(n+1+t)}
	\end{align*}
	
	D'autre part, je sais que $\E = \begin{displaystyle}\lim_{+\infty} S_n\end{displaystyle}$, donc:
	\[ \E = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{n!} + \cdots + \frac{1}{t!} \]
	
	Je remarque également que, comme $n \geqslant 0$, j'ai: $n+2 \geqslant 2 \geqslant 1$, d'où
	\begin{align*}
	n + 2 &\geqslant 1\\
	n + 3 &\geqslant 2\\
	n + 4 &\geqslant 3\\
			&\vdots\\
	n + 1 + t &\geqslant t\\
	\intertext{par produit membre à membre:}
	(n+2)(n+3)(n+4)\cdots(n+1+t) &\geqslant 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times t\\
	\intertext{et comme $x \mapsto \frac{1}{x}$ est décroissante sur $\reels^*_+$:}
	\frac{1}{(n+2)(n+3)(n+4)\cdots(n+1+t)} &\leqslant \frac{1}{1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times t}
	\end{align*}
	De ce fait, pour $t$ allant de $1$ à une valeur arbitrairement grande:
	\begin{align*}
	\frac{1}{(n+2)} &\leqslant \frac{1}{1!}\\
	\frac{1}{(n+2)(n+3)} &\leqslant \frac{1}{2!}\\
	\frac{1}{(n+2)(n+3)(n+4)} &\leqslant \frac{1}{3!}\\
							&\vdots\\
	\frac{1}{(n+2)(n+3)\cdots(n+1+t)} &\leqslant \frac{1}{t!}
	\end{align*}
	Et en sommant membre à membre, j'obtiens:
	\begin{align*}
	\frac{1}{(n+2)} + \frac{1}{(n+2)(n+3)} + \dots + \frac{1}{(n+2)(n+3)\dots(n+1+t)} &\leqslant \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{t!}\\
	1 + \frac{1}{(n+2)} + \frac{1}{(n+2)(n+3)} + \dots + \frac{1}{(n+2)(n+3)\cdots(n+1+t)} &\leqslant 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{t!}
	\end{align*}
	Je remarque que le membre de gauche représente $(n+1)! \times (\E - S_n)$ et que celui de droite représente $\E$:
	\[ (n+1)! \times (\E - S_n) \leqslant \E \]
	et comme $(n+1)! > 0, \forall n \in \naturels$:
	\[ \boxed{\E - S_n \leqslant \frac{\E}{(n+1)!}} \]
	
	\item Selon les relations~\eqref{eq1} et~\eqref{eq2}, on peut dire que:
	\begin{align*}
		0 &< \E - S_n \leqslant \frac{\E}{(n+1)!}\\
		0 &< n!\,\E - n!\,S_n \leqslant n! \times \frac{\E}{(n+1)!}\\
		0 &< n!\,\E - n!\,S_n \leqslant \frac{\E}{n+1}
	\end{align*}
	Dans ce cas, on a:
	\[ 0 < a_n\E - b_n \leqslant \frac{\E}{n+1} \]
	avec
	\[ \left\lbrace\begin{array}{r!{=}l}
	a_n & n!\in\relatifs \\
	b_n & n!\,S_n\in\relatifs
	\end{array}\right. \]
	
	Le nombre $a_n$ étant le produit d'entiers, il est lui-même entier.\newline
	Pour le nombre $b_n$, on a:
	\begin{align*}
	b_n &= n!\ S_n\\
		&= n! + \frac{n!}{1!} + \frac{n!}{2!} + \frac{n!}{3!} + \dots + \frac{n!}{n!}\\
	b_n &= n! + n! + \frac{\xout{1 \times 2} \times 3 \times \dots \times n}{\xout{1 \times 2}} + \frac{\xout{1 \times 2 \times 3} \times \dots \times n}{\xout{1 \times 2 \times 3}} + \dots + 1
	\end{align*}
	De ce fait, $b_n$ est la somme de produits d'entiers, donc $b_n$ est un entier.\newline
	Les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont toutes deux des suites d'entiers relatifs.
	
	\item Je peux ainsi montrer que $\E$ est un irrationnel. Pour cela, je cherche la limite de la suite $n!\,\E - n!\,S_n$, sachant que:
	\[ 0 < n!\,\E - n!\,S_n \leqslant \frac{\E}{n+1} \]
	\begin{align*}
	\lim_{+\infty} n+1 &= +\infty\\
	\lim_{+\infty} \frac{1}{n+1} &= 0\\
	\lim_{+\infty} \frac{\E}{n+1} &= 0\\
	\end{align*}
	Par encadrement de la suite $n!\,\E - n!\,S_n$, je peux affirmer que:
	\[ \lim_{+\infty} n!\,\E - n!\,S_n = 0 \]
	Par ailleurs, pour tout $n$, $n!\,\E - n!\,S_n > 0$, donc pour tout $n$, $n!\,\E - n!\,S_n \neq 0$.
	
	Le nombre $\E$ remplit bien les conditions~\eqref{h1} et~\eqref{h2}, donc c'est un \emph{irrationnel}.
	
\end{enumerate}




\end{document}
